Вісник НАН України. 2017. № 9. С.34-41
https://doi.org/10.15407/visn2017.09.033
ВАНЄЄВА Олена Олександрівна —
кандидат фізико-математичних наук, докторант, старший науковий співробітник відділу математичної фізики Інституту математики НАН України
ORCID: 0000-0003-1841-0342
КЛАСИФІКАЦІЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ЗА СИМЕТРІЙНИМИ ВЛАСТИВОСТЯМИ
За матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 5 липня 2017 року
У доповіді розглянуто задачу класифікації ліївських симетрій у класах нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними. Такі симетрії, зокрема, дозволяють відібрати фізично важливі рівняння з певного класу, а також побудувати їх точні розв’язки. Для багатьох класів рівнянь, що є важливими для застосувань, класичні методи групового аналізу не дозволяють отримати вичерпну класифікацію симетрій. Такі задачі потребують нових підходів, більшість з яких ґрунтуються на використанні невироджених точкових перетворень. На прикладах групової класифікації узагальнених рівнянь Кавахари та квазілінійних рівнянь реакції–дифузії показано ефективність нещодавно розроблених методів, зокрема відшукання найбільш широких груп еквівалентності та відображень між класами.
Ключові слова: ліївська симетрія, групова класифікація, група еквівалентності, метод відображень між класами, рівняння Кавахари, рівняння реакції–дифузії, точні розв’язки.
Поль Дірак (1902–1984) — нобелівський лауреат і один з творців квантової механіки казав: «Фізичний закон має бути математично красивим». Він навіть вважав, що «більш важливо, щоб наші рівняння були красивими, ніж щоб вони узгоджувалися з експериментом» [1]. Принцип краси був для Дірака основним критерієм того, що математична теорія може моделювати фізичні явища. Звісно, краса — це суб’єктивне поняття, проте більшість математиків погоджуються, що визначити, чи є певний математичний об’єкт красивим, все-таки можливо. Одним із критеріїв краси є симетрія. Дійсно, з давніх часів симетрію асоціювали з красою в архітектурі, дизайні, а також вважали важливою рисою особистої привабливості. Виявляється, що симетрію можна розглядати і як міру краси диференціальних рівнянь.
Симетрія диференціальних рівнянь та задача групової класифікації
Симетрією системи диференціальних рівнянь називають перетворення, що відображує кожен розв’язок системи у розв’язок цієї ж системи. Тоді кажуть, що система диференціальних рівнянь є інваріантною відносно своїх перетворень симетрії.
Існують різні типи симетрій: неперервні та дискретні, точкові і контактні, умовні, приховані, узагальнені та ін. Важливим типом симетрій є ліївські симетрії, що відповідають локальним групам Лі неперервних точкових перетворень. Відкриття Софуса Лі полягало в тому, що складні нелінійні умови інваріантності диференціального рівняння відносно групи перетворень можна замінити у випадку неперервної групи більш простими лінійними умовами інфінітезимальної інваріантності відносно твірних групи. Цей результат має велике значення для задачі пошуку симетрій, оскільки дозволяє шукати замість перетворень з групи симетрій базисні оператори з відповідної алгебри ліївської інваріантності рівняння.
Теорія ліївських симетрій надала один з найефективніших методів побудови точних розв’язків нелiнiйних диференціальних рівнянь, як звичайних, так і з частинними похідними, загальної теорії інтегрування яких не існує. Метод лiївської редукції дає змогу зменшити кількість незалежних змінних у розглядуваному рівнянні. Так, якщо (1+1)-вимiрне диференціальне рівняння з частинними похідними допускає однопараметричну групу Лi точкових перетворень, що діє регулярно й трансверсально на многовидi цього рівняння, то його можна редукувати до звичайного диференціального рівняння [2].
Застосування ліївських симетрій не вичерпується побудовою точних розв’язків. Наявність широкої групи інваріантності також можна розглядати як критерій відбору рівнянь, що описують реальні фізичні процеси. Дійсно, всі основні рівняння математичної фізики, зокрема рівняння Ньютона, Лапласа, Даламбера, Ейлера–Лагранжа, Гамільтона–Якобі, Максвелла, Шредінгера, є інваріантними відносно багатопараметричних груп точкових перетворень. Отже, наявність нетривіальних симетрійних властивостей є однією з особливостей, які вирізняють диференціальні рівняння, що описують реальні фізичні процеси, з множини усіх диференціальних рівнянь. Наприклад, є тільки одна система диференціальних рівнянь у частинних похідних першого порядку для двох дійсних вектор-функцій та , що є інваріантною відносно групи Пуанкаре, і це система рівнянь Максвелла. Аналогічним чином можна визначити рівняння Дірака, Шредінгера та ін. [3]. Отже, вимога інваріантності рівняння відносно деякої групи перетворень дозволяє обрати модельне рівняння серед інших можливих.
Виникає важлива задача: виокремити із заданого класу рівнянь ті, що допускають максимально широкі ліївські симетрії. Цю задачу називають задачею групової класифікації. Повне розв’язання задачі групової класифікації передбачає:
- відшукання групи еквівалентності класу (ця група складається з невироджених точкових перетворень незалежних та залежних змінних рівнянь з класу та довільних елементів класу, що зберігають диференціальну структуру класу, але можуть змінювати довільні елементи);
- знаходження «ядра» максимальних алгебр ліївської інваріантності, утвореного ліївськими симетріями, що допускаються будь-яким рівнянням із заданого класу;
- пошук усіх нееквівалентних рівнянь з класу, що допускають розширення максимальних алгебр ліївської інваріантності.
Основи класичного групового аналізу диференціальних рівнянь можна знайти у монографіях [2, 4]. Чимало результатів щодо групової класифікації певних класів диференціальних рівнянь з частинними похідними зібрано у довіднику [5].